Construction des primaires CIE-XYZ

Trouver trois primaires qui englobent totalement le spectrum locus n'est pas une difficulté en soi puisque n'importe quelle primaire "prise au hasard" ferait l'affaire. Mais l'opération devient particulièrement compliquée et délicate avec les quatre contraintes que se sont imposées les chercheurs :

1 - Séparer clairement les informations de luminance et de chromaticité. La totalité de la luminance doit être portée par une primaire unique. Les deux autres primaires ne générant par conséquent aucune luminance.
2 - La somme des primaires X,Y, Z doit donner le même point blanc que le modèle CIE-RGB, c'est-- dire le point blanc E d'égale énergie.
3 - Tout en englobant totalement les couleurs visibles, le triangle doit rester le plus petit possible avec les 3 droites du triangle (x=0), (y=0) et (x+y=1) tangentes au spectrum locus du CIE-RGB.
4 - La droite qui relie X et Y dans le nouveau triangle doit être lla même que celle qui relie R et G dans le CIE-RGB afin de simplifier la procédure.

L'alychne ou la ligne de luminance nulle

Dans la conception du modèle XYZ, la plus grande difficulté consiste à faire porter la totalité de la luminance à la primaire Verte (Y).

Erwin Schrödinger apporta une part importante dans les concepts théoriques qui faisaient défaut à cette époque. Il démontre que si l'espace RGB est représenté par un cube, Il existe à l'extérieur de ce cube, un plan où la luminance est nulle (voir fig. 2). Par la suite, Judd, chargé de la construction du modèle, propose de placer deux des futures primaires dans ce plan, ce qui signifie que la troisème primaire portera la totalité de la luminance. Toute couleur définie dans ce plan virtuel de luminance nulle aura toujours une de ses trois composantes qui sera négative, la somme des trois devant donner une valeur nulle.

Dans ce plan de luminance nulle, les valeurs unitaires r, g, b pondérées par le coefficient de luminosité s'annulent selon l'équation :

Et dans le cas particulier de l'espace CIE-RGB dans lequel on connait la luminance des trois primaires, l'équation du plan de luminance nulle est connue :
1 r + 4,6 v + 0,006 b = 0

Fig. 2 L'espace RGB (cube) n'a qu'un seul point de luminance nulle, c'est l'origine 0 des 3 primaires. Imaginez le cube en équilibre sur une surface avec pour seul point de contact, le point 0. Cette surface virtuelle, car hors du cube, correspond au plan de luminance nulle défini par Schrödinger.

Les calculs étant bien plus faciles dans un plan en deux dimensions, on va donc rechercher l'intersertion du plan de luminance nulle avec le plan r + g + b = 1 qui porte le triangle de Maxwell. Cette intersection est une droite que Schrodinger nomme Alychne (sans lumière).

Le diagramme CIE-rg n'étant qu'une projection du triangle de maxwell, la projection de l'alychne sur le diagramme est une autre droite dont l'équation est :

Toute couleur positionnée sur cette ligne a zéro comme valeur de luminance

Fig. 3. On nomme Alychne la projection du plan de luminance nulle sur le diagramme en deux dimensions. le point 0 est donc positionné sur l'alychne. Pour intégrer les dernières couleurs spectrales en dessous de 430 nm (voir dans la loupe), on va finalement utiliser une droite parallèle à l'alychne située à 1/100 d'unité en dessous. De ce fait, X et Z porteront moins de 1/10 000 de la luminance, soit un écart négligeable.

Toutes les couleurs positionnées sur l'alychne (ou qui répondent à l'équation ci-dessus) ont une luminance égale à zéro. Si on place sur cette ligne, les primaires X et Z, elle ne portent aucune luminance et par conséquent la troisième primaire Y porte 100 % de la luminance. En portant toute la luminance, la primaire Y devient la fonction de luminance V(λ). Les données de luminance sont désormais connues pour les trois primaires. Pour Y, on a 1 r + 4,6 v + 0,006 b = 1

Un côté en commun

On choisit pour simplifier les calculs, de conserver la droite qui relie R et G pour placer les points x et y (la droite r + g = 1 dans le diagramme r g). Avec cette simplification, on perd les apports infimes de bleu négatifs qui permettent d'égaliser le jaune, pertes déjà consenties dans la construction du CIE-RGB. En fait, on conserve la ligne droite qui joint la couleur jaune 570 nm à la couleur rouge 700 nm et l'équation de cette droite est précisément r + 0,99 g = 1.

Fig. 4. L'intersection des 2 droites donne la position de la primaire X (r, g = 1,275, -0,278).

Des primaires d'égale énergie

La troisième étape consiste à positionner les deux primaires Y et Z de telle manière qu'elles conservent l'équilibre chromatique nécessaire pour obtenir le point blanc E. Mathématiquement, cela correspond à maintenir égales les sommes de 3 composantes pour X, pour Y et pour Z. La somme des composantes pour X est connue puisque déjà déterminée précédement par ses coordonnées. Pour la composante Y, on sait déjà que 1 r + 4,6 v + 0,006 b = 1 et pour la composante Z, on a 1 r + 4,6 v + 0,006 b = 0. On connait ainsi la pente de la droite zy, mais Ii existe une infinité de positions répondant à ce critère. On va donc choirir un couple de positions pour Y et Z tel que l'axe Y soit tangent au spectrum locus. Pour cela, on ne doit pas avoir de valeur de X qui soit négative, mais trouver la somme minimum X = R + G + B qui soit égale à 0. En appliquant ce critère, la droite zy est tangente au spectrum locus au niveau de la couleur 504 nm. On obtient finalement la position des 2 dernières primaires Y = -1,738, 2,765 et Z = -0,743, 0,141.

Fig. 5. Les coordonnées des trois points x, y et z permettent de définir les composantes trichromatiques X, Y et Z et donc de définir les nouvelles fonctions colorimétriques entièrement positives.

Le résultat de cette construction en coordonnée est ensuite converti facilement en composantes trichromatiques qu'on présente sous la forme d'une matrice 3 x 3 ou plus simplement comme ci-dessous sous la forme de 3 équations. Cette matrice est la clé pour convertir une couleur depuis l'espace CIE-XYZ dans n'importe quel autre espace couleur.

X = 0,49000 R + 0,31000 G + 0,20000 B
Y = 0,17697 R + 0,81240 G + 0,01063 B
Z = 0,00000 R + 0,01000 G + 0,99000 B